Enten du er inne for å sjekke hvor raskt du kan fylle kaffetrakteren din eller bare telle trinnene dine til busstoppet om morgenen, det er noe med monotonien i hverdagen som får oss til å prøve å gjøre det om til et spill. Innbyggerne i den prøyssiske byen Konigsberg på det attende århundre (nå, som du vet, dette er Kaliningrad) var de samme som oss alle. Det var bare spillet de spilte med syv broer i byen deres som en dag vakte interessen til en av de største matematikerne i menneskets historie.
Konigsberg ble bygget ved bredden av elven Pregel (Pregolya), som delte byen i fire separate boligområder. Folk flyttet fra et område til et annet gjennom syv forskjellige broer. Ifølge legenden var et populært tidsfordriv under søndagsturer å prøve å krysse hele byen for bare å krysse hver bro. Ingen har funnet ut hvordan de skal gjøre dette, men dette betyr ikke at problemet ikke har noen løsning. De måtte bare gå til riktig ekspert for å bli kjent med ham.
I 1735 skrev ordføreren for byen Danzig (nå den polske Gdansk), som ligger 120 kilometer vest for Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, til Leonard Euler med et brev der han ba om hjelp til å løse dette problemet på vegne av en lokal professor i matematikk ved navn Henry Kuehn. Selv da var Euler en berømt og meget vellykket matematiker - han ga ut sin første bok i løpet av et år etter dette brevet, og skrev i hele sitt liv mer enn 500 bøker og artikler.
Derfor er det ikke overraskende at Euler først trodde at det var under hans verdighet å takle dette problemet, og skrev som svar: en forespørsel til en matematiker og ikke til noen andre, siden avgjørelsen kun er basert på sunn fornuft og ikke er avhengig av noen av de kjente matematiske prinsippene."
Til syvende og sist lyktes imidlertid Ehler og Kühn med å overbevise Euler, og han innså at dette var en helt ny type matematikk - "geometri of positions", i dag kjent som topologi. I topologi har den nøyaktige formen eller plasseringen av et objekt ingen rolle. Det er til og med en gammel vits at en topolog ikke kan fortelle forskjellen mellom en smultring og en kaffekopp, siden begge gjenstandene har nøyaktig ett hull. Inntil da ble dette helt nye matematikkområdet bare skrevet om, men ingen har ennå forstått hvilke problemer det kunne løse. De syv Konigsberg-broene var en utmerket eksperimentell bekreftelse av den nye teorien, siden problemet ikke krevde målinger eller presise beregninger. Du kan gjøre et komplekst bykart om til en enkel og forståelig graf (diagram) uten å miste noen viktig informasjon.
Mens man kan bli fristet til å løse dette problemet ved å kartlegge alle mulige ruter gjennom byen, skjønte Euler øyeblikkelig at denne strategien ville ta for lang tid og ikke ville fungere med andre lignende problemer (hva hvis det i en annen by var, si, tolv broer?). I stedet bestemte han seg for å distrahere seg midlertidig fra broene og markerte landområdene med bokstavene A, B, C og D. Dermed kunne han nå beskrive reisen over broen fra område A til område B som AB, og reisen fra område A gjennom område B-området D som ABD. Det er her viktig å merke seg at antall bokstaver i rutebeskrivelsen alltid vil være en mer enn antall kryssede broer. Dermed krysser rute AB én bro, og rute ABD krysser to broer, og så videre. Euler innså at siden det er syv broer i Konigsberg, for å krysse dem alle,ruten må bestå av åtte bokstaver, noe som betyr at løsningen av problemet vil kreve nøyaktig åtte bokstaver.
Da kom han på en mer generell regel ved å bruke en enda mer forenklet ordning. Hvis du bare hadde to landstrekninger, A og B, og krysset broen en gang, kunne seksjon A være der reisen begynte eller hvor den endte, men du ville bare være i seksjon A. Hvis du krysset broer a, b og c en gang, ville du være på seksjon A nøyaktig to ganger. Dette førte til en hendig regel: hvis du har et jevnt antall broer som fører til ett stykke land, må du legge til en til det tallet, og deretter dele totalen med to for å finne ut hvor mange ganger den delen skal brukes under reisen. (i dette eksemplet, hvis du legger til en til antall broer, det vil si til 3, får vi fire, og deler fire for to får vi to,det vil si at det er nøyaktig to ganger under reisen at avsnitt A) krysses.
Salgsfremmende video:
Dette resultatet brakte Euler tilbake til sitt opprinnelige problem. Det er fem broer som fører til seksjon A, så den åtte bokstavers løsningen han ser etter, må krysses tre ganger. Avsnitt B, C og D har to broer som fører til dem, så hver må krysse to ganger. Men 3 + 2 + 2 + 2 er 9, ikke 8, selv om du i henhold til betingelsen bare trenger å gå gjennom 8 seksjoner og krysse 7 broer. Dette betyr at det er umulig å gå gjennom hele byen Königsberg ved å bruke hver bro nøyaktig en gang. Med andre ord, i dette tilfellet har problemet ingen løsning.
Som enhver ekte matematiker, stoppet imidlertid ikke Euler der. Han fortsatte å jobbe og opprettet en mer generell regel for andre byer med et annet antall broer. Hvis byen har et ulikt antall broer, er det en enkel måte å finne ut om du kan gjøre en slik tur eller ikke: Hvis summen av antall forekomster av hver bokstav som betegner et stykke land, er en mer enn antall broer (som for eksempel i den åtte-bokste løsningen, ca. nevnt tidligere), er en slik reise mulig. Hvis summen er større enn dette tallet, er det umulig.
Hva med et jevn antall broer? I dette tilfellet avhenger det av hvor du skal begynne. Hvis du begynner på Seksjon A og reiser over to broer, vises A to ganger i løsningen din. Hvis du starter på den andre siden, vil A bare vises en gang. Hvis det er fire broer, vises A tre ganger hvis denne delen var utgangspunktet, eller to ganger hvis den ikke var det. Generelt betyr dette at hvis reisen ikke starter fra seksjon A, må den krysses dobbelt så mange ganger som antall broer (fire delt med to gir to). Hvis reisen starter fra seksjon A, må den krysse en gang til.
Genialiteten til Eulers løsning ligger ikke engang i svaret, men i metoden han anvendte. Det var et av de tidligste brukstilfellene av grafteori, også kjent som nettverksteori, et svært ettertraktet matematikkfelt i dagens verden fylt med transport, sosiale og elektroniske nettverk. Når det gjelder Königsberg, endte byen opp med en annen bro, som gjorde Eulers avgjørelse kontroversiell, og da ødela britiske styrker det meste av byen under andre verdenskrig. I dag har både byen og elven nye navn, men det gamle problemet lever i et helt nytt matematikkfelt.
Igor Abramov
