Jeg var et villfarlig barn som vokste opp på litteratur og behandlet matematikk og vitenskap som om de kunne fange pesten. Derfor er det ganske rart at som et resultat ble jeg en person som håndterer trippel integraler, Fourier-transformasjoner og matematikkens perle, Euler-ligningen hver dag. Det er vanskelig å tro at fra en person med en bokstavelig medfødt fobi mot matematikk, ble jeg en ingeniørprofessor.
En dag spurte en av studentene meg hvordan jeg gjorde det: hvordan jeg forandret hjernen min. Jeg ønsket å svare: "Jammen, det var ekstremt vanskelig!" Tross alt kunne jeg ikke gjøre matte og naturfag på grunnskolen, ungdomsskolen og videregående. I sannhet begynte jeg bare å ta matteundervisning etter at jeg ble sparket fra hæren da jeg var 26 år gammel. Hvis det var et eksempel på potensialet for fleksibilitet i den voksne hjernen, ville jeg blitt modell 1.
Å studere matematikk og naturfag som voksen åpnet døren for meg til en verden med mange muligheter - ingeniørfag. Gjennom hardt arbeid i voksen alder har hjerneendringene gjort at jeg kan se nevroplastisiteten som ligger til grunn for læring av voksne. Heldigvis forberedte jeg meg på en doktoravhandling i systemteknikk, som koblet et stort bilde av forskjellige STEM-disipliner (vitenskap, teknologi, ingeniørfag, matematikk), og deretter for min videre forskning og arbeid, som sentrerte om strukturen til menneskelig tenkning, hjalp meg til å forstå sistnevnte funn innen nevrovitenskap og kognitiv psykologi knyttet til læringsprosessen.
Siden jeg fikk doktorgraden, har tusenvis av studenter gått gjennom hendene mine, studenter i barneskolen og videregående skole mente at den hellige talismanen om å forstå matematikk er en aktiv diskusjon. Det antas at hvis du kan forklare andre hva du har lært, for eksempel ved å tegne et bilde, så forstår du det.
Japan har blitt et beundringsverdig og etterlignet eksempel på disse aktive læringsmetodene for "forståelse". Imidlertid snakkes ikke ofte baksiden av dette konseptet om: Japan ble også fødestedet til Kumon-metoden for undervisning i matematikk, som er basert på memorisering, repetisjon, propp og arbeid med hvordan barnet mestrer materialet. Dette intense utenomfaglige programmet (og andre som det) har blitt ivrig mottatt av foreldre i Japan og over hele verden som supplerer barnas online-utdanning med mer øvelse, repetisjon og, ja, sofistikert trang for å gi dem friheten til å mestre faget.
I USA erstatter vektleggingen av forståelse noen ganger en annen eldre metode som brukes (og brukes) av forskere: for å studere matematikk og naturfag må du jobbe med hjernens naturlige prosess.
Den siste bølgen av utdanningsreformer i matematikk handler om obligatorisk skolepensum: det er et forsøk på å sette sterke, ensartede standarder over hele Amerika, selv om kritikere påpeker at standardene ikke tåler sammenligning med de landene som har best resultat. I det minste overfladisk gir standardene et rimelig perspektiv. De antar at i matematikk skal studentene ha like konseptuell kunnskap, flyt i ferdigheter med problemløsing og evnen til å anvende dem.
Fangsten ligger selvfølgelig i å få ting gjort. I det nåværende pedagogiske klimaet blir memorisering og repetisjon i STEM-disipliner (kontra å studere språk eller musikk) ofte sett på som et nedverdigende bortkastet tid av både studenter og lærere. Mange lærere har lenge blitt lært at konseptuell kunnskap er nøkkelen i STEM-fag. Det er faktisk lettere for lærere å engasjere elevene i en diskusjon om et matematisk tema (og hvis det gjøres riktig, utvikler det en bedre forståelse) enn det er kjedelig å evaluere lekser som er gjort. Implikasjonen er at flyt i ferdigheter og evnen til å anvende dem må utvikle seg på samme måte som konseptuell kunnskap, og dette skjer ofte ikke. Formidlingen av konseptuell kunnskap troner øverst, spesielt i dyrebare klassetider.
Kampanjevideo:
Vanskeligheten med å fokusere på forståelse er at studentene ofte kan forstå et viktig poeng i matematikk- og naturfagstimer, men denne kunnskapen kan raskt gli unna uten å være etablert i praksis og repetisjon. For å gjøre saken verre, tror studentene ofte at de forstår noe når de faktisk ikke gjør det. Ved å fremheve viktigheten av forståelse, kan lærere uforvarende presse elevene mot å mislykkes mens barn hengir seg til illusjonen av kunnskap. Som en ingeniørstudent nylig sa til meg (ikke bestått en eksamen): «Jeg forstår bare ikke hvordan jeg kunne få et så dårlig resultat. Jeg forsto alt da du forklarte i timen. Studenten min hadde kanskje trodd at han forsto emnet den gangen, og kanskje han gjorde det, men han praktiserte aldri denne kunnskapen for å virkelig lære det. Han har ikke utviklet noen beslutningsferdigheter eller evner til å bruke det han mener han allerede har forstått.
Det er et interessant forhold mellom å studere matematikk og naturfag og å mestre en idrett. Når du lærer å slå med en golfklubb, perfeksjonerer du denne bevegelsen gjennom konstant repetisjon over flere år. Kroppen din vet hva du skal gjøre når du bare tenker på det (hele blokken), i stedet for å huske alle de vanskelige trinnene det tar å slå ballen.
På samme måte, når du først har forstått noe om matematikk og naturfag, trenger du ikke hele tiden å forklare det for deg selv hver gang du kommer over et emne. Du trenger ikke å ha 25 kuler med deg, hele tiden legge ut rader på fem stykker for å forstå at 5 × 5 = 25. På et tidspunkt vet du det bare utenat. Du husker ideen om at du bare trenger å legge til eksponentene (små tall skrevet på toppen) når du multipliserer det samme tallet i forskjellige grader (104 × 105 = 109). Hvis du gjør denne prosedyren ofte, og løser mange forskjellige typer problemer, vil du oppdage at du har en veldig god forståelse av både årsakene og handlingene bak prosedyrene. Forståelse utvides av det faktum at hjernen din har bygget meningsopplegg. Det konstante fokuset på å forstå seg selv er faktisk en hindring.
Jeg lærte alt dette om matematikk og læringsprosessen ikke i klasserom K-12, men på min egen erfaring, som barn, da jeg vokste opp med å lese Madeleine Langele og Dostoevsky, som studerte språk ved et av verdens ledende språkuniversiteter, og deretter plutselig ble en professor i ingeniørfag.
I min ungdom, med et talent for språk og uten nok penger eller ferdigheter, hadde jeg ikke råd til å gå på college (det var ikke snakk om høyskolelån den gang). Så fra videregående gikk jeg rett til hæren. Jeg elsket å studere fremmedspråk tilbake på videregående skole, og hæren føltes som et sted hvor folk fikk betalt penger for å lære fremmedspråk, selv om de studerte ved det prestisjetunge Military Institute of Foreign Languages, et sted der språkopplæring vokste til en vitenskap. Jeg valgte russisk fordi det var veldig forskjellig fra engelsk, men det var ikke så vanskelig at jeg måtte lære det i evigheter og lære å snakke det på nivå med en fireåring. I tillegg vinket jernteppet med sitt mysterium: plutselig vil jeg kunne bruke min kunnskap om det russiske språket og ta en titt,hva ligger bak?
Etter å ha tjent i hæren begynte jeg å oversette for russerne som jobbet med sovjetiske trålere i Beringshavet. Å jobbe for russere var morsomt og spennende, pluss at det var en litt glamorøs jobb for migranter. Du drar til sjøen i fiskesesongen, tjener anstendige penger, blir stadig full underveis, og returnerer deretter til havnen på slutten av sesongen og håper å bli kalt tilbake til jobb neste år. For en person som snakket russisk, var det bare ett alternativ til sysselsetting - å jobbe for National Security Agency (mine venner i hæren foreslo hele tiden dette alternativet for meg, men det var ikke for meg).
Jeg begynte å forstå at kunnskap om et fremmed språk i seg selv er en nyttig virksomhet, men med begrenset potensial og antall muligheter. Ingen kuttet telefonen min, ingen trengte min kunnskap om bøyninger på russisk. Med mindre jeg skulle bli vant til sjøsyke og sporadisk underernæring på fete trålere midt i Beringshavet. Hele tiden husket jeg ingeniørene som studerte ved West Point, som jeg jobbet sammen med i hæren. Deres matematiske og vitenskapelige tilnærming til problemløsing var åpenbart nyttig i den virkelige verden, langt mer nyttig enn mine misforhold med matematikk i min ungdom ville ha tillatt meg å forestille meg.
Dermed, i en alder av 26 år, forlot jeg hæren og på jakt etter nye muligheter, skjønte jeg: Hvis jeg virkelig vil prøve noe nytt, hvorfor ikke starte med det som kan åpne for en hel verden av nye perspektiver for meg? Noe som engineering? Dette betydde at jeg ville prøve å lære et helt annet språk - beregningsspråket.
Med min dårlige forståelse av selv den enkleste matematikken begynte innsatsen min etter hæren med gjenopprettende leksjoner i algebra og trigonometri. Dette var godt under nullnivået for de fleste studenter. Noen ganger virket det som en latterlig oppgave å prøve å omprogrammere hjernen min, spesielt da jeg så på de unge ansiktene til mine yngre klassekamerater og innså at de allerede hadde forlatt sine vanskelige klasser i matematikk og naturvitenskap, og jeg bestemte meg for å gå rett for å møte dem. Men i mitt tilfelle, i min erfaring med å mestre det russiske språket som voksen, mistenkte jeg (eller bare håpet) at det ville være noe i aspektene ved å lære et fremmedspråk som jeg kunne bruke til å mestre matematikk og naturfag.
Da jeg lærte russisk, fokuserte jeg ikke bare på å forstå språket, men også på flyt i det. Gratis bruk av hele systemet (i dette tilfellet språket) krever nær bekjentskap, som oppnås utelukkende gjennom gjentatt og variert samspill med dets elementer. Der klassekameratene mine var fornøyde med en enkel forståelse av muntlig eller skriftlig russisk, prøvde jeg å utvikle en indre, dyp forbindelse med språkets ord og struktur. Jeg nøyde meg ikke med bare å vite betydningen av ordet "forstå". Jeg brukte verbet i praksis: Jeg konjugerte det konstant i forskjellige tidspunkter, brukte det i setninger, og til slutt forsto jeg ikke bare når jeg skulle bruke denne formen for verbet, men også når jeg ikke skulle gjøre det. Jeg trente med utfordringen med å raskt huske alle disse aspektene og variasjonene. Hvis du ikke behersker språket, og noen chatter raskt på deg, slik det skjer i normal samtale (som alltid høres veldig fort ut når du lærer et fremmedspråk), aner du ikke hva du snakker om. faktisk sier de, selv om du teknisk sett forstår hvert ord individuelt og strukturen til setningene. Selvfølgelig kan du ikke selv snakke raskt nok til at morsmål kan glede seg over å høre på deg.
Med denne tilnærmingen (med fokus på flyt i stedet for bare å forstå) kom jeg foran alle i klassen. Jeg var ikke klar over det da, men denne tilnærmingen til språkopplæring ga meg en intuitiv forståelse av det grunnleggende grunnlaget for læring og utviklet kompetanse - dannelsen av blokker.
Blokkdannelse ble opprinnelig utviklet i et revolusjonerende arbeid av Herbert Simon, hvor han analyserte sjakk: blokker ble sett på som forskjellige nevrale ekvivalenter til forskjellige sjakkordninger. Etter hvert innså nevrologer at spesialister som sjakkmestere oppnådde dette ved å lagre tusenvis av kunnskapsblokker om deres kompetanseområde i langtidsminne. Stormestere kan for eksempel huske titusenvis av forskjellige sjakkmønstre. Uansett disiplin, kan kjennere vekke i sin bevissthet en eller flere godt sveisede, samlet i en blokk med nevrale underrutiner, ved hjelp av hvilke de analyserer og reagerer når de møter behovet for å lære nye ting. Nivået på sann forståelse, evnen til å bruke det i nye situasjoner vises bare med den klarheten, kunnskapsnivået,som bare kan gi repetisjon, memorisering og øvelse.
Som studier utført blant sjakkspillere, ambulanseleger og jagerpiloter har vist at i øyeblikk med størst stress kommer en rask underbevisst prosessering for å erstatte den bevisste analysen av situasjonen, siden alle disse spesialistene utvikler et system av nevrale underrutiner, blokker, på et dypt nivå. I et bestemt øyeblikk tjener en bevisst "forståelse" av hvorfor du utfører denne eller den andre handlingen bare som et hinder og resulterer ikke i de mest vellykkede avgjørelsene. Da jeg intuitivt forsto at det var en sammenheng mellom å lære et fremmedspråk og å lære matematikk, hadde jeg rett. Daglig langsiktig praktisk mestring av russisk belastet og styrket mine nevrale forbindelser, og jeg begynte gradvis å koble sammen blokkene med språkkunnskap som lett kunne brukes nå. Ved å organisere læringen din i "lag" (med andre ord,praktiserte på en slik måte at jeg ikke bare visste når jeg skulle bruke ordet, men også når jeg ikke skulle bruke det, eller rettere en annen versjon av det), brukte jeg faktisk den samme tilnærmingen som utøvere i matematikk og naturfag tar. Mens jeg studerte matematikk og ingeniørfag som voksen, begynte jeg å bruke den samme strategien som når jeg studerte et fremmedspråk. Jeg så på likhet, for å ta det mest elementære eksemplet, på Newtons andre lov f = ma. Jeg trente i å forstå hva hver bokstav betyr: f - tyngdekraft - betydde trykk, m - kroppsvekt - satte en slags motstand på presset mitt, og a - en oppkvikkende følelse av akselerasjon. (Tilsvarende for å lære russisk var å si høyt bokstavene i det russiske alfabetet). Jeg husket likestilling slik at den avgjort i minnet mitt,og jeg kunne leke med ham. Hvis m og a var store tall, hvordan påvirket dette f da jeg koblet dem til formelen? Hvis f var stor og a var liten, hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likeverd var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at de uskarpe omrissene av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturfag godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk. Hvis m og a var store tall, hvordan påvirket dette f da jeg koblet dem til formelen? Hvis f var stor og a var liten, hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likhet var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at de uskarpe omrissene av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturfag godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk. Hvis m og a var store tall, hvordan påvirket dette f da jeg koblet dem til formelen? Hvis f var stor og a var liten, hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likhet var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at de uskarpe områdene av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturvitenskap godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.når byttet jeg dem ut i formelen? Hvis f var stor og a var liten, hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likhet var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at de uskarpe omrissene av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det slik at jeg, for å mestre matematikk og naturfag godt, måtte sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.når byttet jeg dem ut i formelen? Hvis f var stor og a var liten, hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likhet var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at uskarpe konturer av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturvitenskap godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likeverd var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at de uskarpe omrissene av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturvitenskap godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.hvordan påvirket dette m? Hvordan passet delene av likheten sammen? Å leke med likhet var som verbkonjugasjon. Jeg begynte å forstå intuitivt at de uskarpe områdene av likhet var som et dikt mettet med metaforer, der mange vakre symbolske bilder er skjult. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturvitenskap godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.som inneholder mange vakre symbolske bilder. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturvitenskap godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.som inneholder mange vakre symbolske bilder. Selv om jeg på det tidspunktet ikke ville kalle det for, for å mestre matematikk og naturvitenskap godt, måtte jeg sakte, dag etter dag, bygge sterke nevrale "blokk" -rutiner (som de jeg gjorde med formelen f = ma), slik at jeg enkelt kan bruke informasjon fra langtidsminnet, slik jeg gjorde med russisk.som jeg gjorde med russisk.som jeg gjorde med russisk.
Noen ganger fortalte matematikk- og naturfagslærere meg at byggesteiner med informasjon som var dypt innebygd i sinnet, var det absolutte fundamentet for deres suksess. Forståelse skaper ikke flyt i kunnskap; tvert imot, flyt flyt forståelse. Jeg tror faktisk at ekte forståelse av et komplekst emne bare oppstår under betingelser for fri mestring av det.
Med andre ord, i undervisningen i naturvitenskap og matematikk er det enkelt å bytte til undervisningsmetoder der vekt legges på forståelse, og rutinemessig repetisjon og praksis, som tjener som grunnlag for flyt i faget, unngås. Jeg lærte russisk ikke bare fordi jeg forsto det - tross alt er forståelse ikke en så vanskelig oppgave, men den kan lett gli fra deg. (Hva betyr det russiske ordet "forstå"?) Jeg lærte russisk, og strebet etter flyt gjennom øvelse, repetisjon og propp, bare den typen propp som stimulerte evnen til å tenke fleksibel og rask. Jeg lærte matematikk og naturfag ved å bruke nøyaktig de samme prinsippene. Språk, matematikk, naturvitenskap, som nesten alle områder av menneskelig kunnskap, bruker de samme mekanismene i hjernen.
Da jeg brøt ut i et nytt liv, ble elektroingeniør og deretter professor i ingeniørarbeid, forlot jeg russisk tidligere. Men 25 år etter forrige gang jeg drakk på en sovjetisk tråler, bestemte familien min og jeg oss for å kjøre over Russland på den transsibiriske jernbanen. Til tross for at jeg gledet meg til denne turen, som jeg lenge hadde drømt om, var jeg bekymret. I alle disse årene har jeg knapt sagt minst et ord på russisk. Hva om jeg helt glemte ham? Hva ga meg alle disse årene med å mestre flytende språk?
Da vi først gikk ombord på toget, snakket jeg selvfølgelig russisk som et barn på to år. Jeg søkte febrilsk etter ord, gjorde en feil i bøyning og bøyning, min tidligere nesten perfekte uttale ble til en forferdelig aksent. Men grunnlaget ble lagt, og fra dag til dag ble russeren min bedre og bedre. Men selv med et grunnleggende nivå klarte jeg å takle de daglige oppgavene under reisen vår. Snart begynte guidene å nærme meg slik at jeg kunne hjelpe til med å oversette dem til andre passasjerer. Til slutt ankom vi Moskva og satte oss i en taxi. Sjåføren, som jeg snart skjønte, skulle plyndre oss som en klissete mann - han kjørte oss i nøyaktig motsatt retning, gjennom trafikkork, og ventet at utlendinger, som ikke forstår noe, stiltiende ville betale for en ekstra time til satsen. Plutselig slapp russiske ord fra meg,som jeg ikke har snakket på flere tiår. Jeg skjønte ikke engang at jeg kjente dem.
Et eller annet sted dypt i tankene mine forble flytende språket mitt og kom ut i rett øyeblikk: det fikk oss raskt ut av problemer (og hjalp til med å finne en annen taxi). Flytende tillater forståelse å bli en del av bevisstheten og dukker opp når du trenger det.
Når jeg i dag ser hvor mye det er mangel på spesialister innen naturvitenskap og matematikk i vårt land, observerer jeg moderne trender innen pedagogikk, reflekterer over min egen vei, på kunnskapen jeg har fått om hjernens evner, jeg forstår at vi kunne oppnå mye mer. Som foreldre og lærere kan vi bruke enkle, tilgjengelige metoder for å utdype vår forståelse, noe som gjør den nyttig og fleksibel. Vi kan presse andre mennesker og oss selv til å studere nye disipliner som virket for vanskelige for oss - matematikk, dans, fysikk, språk, kjemi, musikk - og derved åpne helt nye verdener for oss selv og andre.
Som jeg forsto selv, er det å ha en grunnleggende, rotfestet fri kunnskap om matematikk (og ikke bare "forståelse") grunnlaget for alt. Det åpner dører til mange interessante spesialiteter. Når jeg ser tilbake, forstår jeg at jeg ikke burde ha fulgt mine tilbøyeligheter og interesser blindt. Den delen av meg som "fritt" elsket litteratur og språk var den samme som fikk meg til å elske matematikk og naturfag som et resultat, det endret og beriket livet mitt.
