1) Hvorfor er minus en ganget med minus en lik pluss en?
2) Hvorfor er minus en ganget med pluss en lik minus en?
Den enkleste måten å svare på er: "Fordi dette er reglene for å håndtere negative tall." Reglene som vi lærer på skolen og anvender hele livet. Lærebøkene forklarer imidlertid ikke hvorfor reglene er nøyaktig slik. Vi vil først prøve å forstå dette basert på historien om utviklingen av aritmetikk, og deretter vil vi svare på dette spørsmålet fra moderne matematikk.
For lenge siden kjente folk bare naturlige tall: 1, 2, 3, … De ble brukt til å telle redskaper, byttedyr, fiender osv. Men tall i seg selv er ganske ubrukelige - du må vite hvordan du skal takle dem. Tilsetning er visuelt og forståelig, dessuten er summen av to naturlige tall også et naturlig tall (en matematiker vil si at settet med naturlige tall er lukket under tilleggsoperasjonen). Multiplikasjon er egentlig det samme tilskuddet hvis vi snakker om naturlige tall. I livet utfører vi ofte handlinger assosiert med disse to operasjonene (for eksempel når vi handler, legger vi til og multipliserer), og det er rart å tenke at forfedrene våre møtte dem sjeldnere - tillegg og multiplikasjon ble mestret av menneskeheten for veldig lenge siden. Det er ofte nødvendig å dele noen mengder på andre, men her er ikke alltid resultatet uttrykt som et naturlig tall - det var slik brøkstall dukket opp.
Du kan selvfølgelig ikke klare deg uten subtraksjon heller. Men i praksis har vi en tendens til å trekke de mindre fra det større antallet, og det er ikke nødvendig å bruke negative tall. (Hvis jeg har 5 karameller og gir søsteren min 3, så vil jeg ha 5 - 3 = 2 karameller, men jeg kan ikke gi henne 7 karameller av hele mitt hjerte.) Dette kan forklare hvorfor folk ikke har brukt negative tall på lenge.
I indiske dokumenter vises negative tall siden 800-tallet e. Kr. kineserne begynte tilsynelatende å bruke dem litt tidligere. De ble brukt til å regnskapsføre for gjeld eller i mellomberegninger for å forenkle løsningen av ligninger - det var bare et verktøy for å få et positivt svar. At negative tall, i motsetning til positive, ikke uttrykker tilstedeværelsen av noen enhet, vakte stor mistillit. Mennesker i bokstavelig forstand unngikk negative tall: hvis et problem fikk et negativt svar, trodde de at det ikke var noe svar i det hele tatt. Denne mistilliten vedvarte i veldig lang tid, og til og med Descartes - en av "grunnleggerne" av moderne matematikk - kalte dem "falsk" (på 1600-tallet!).
Tenk for eksempel ligningen 7x - 17 = 2x - 2. Den kan løses slik: flytt begrepene med det ukjente til venstre side, og resten til høyre, får du 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Med dette løsning, møtte vi ikke engang negative tall.
Men det var mulig å gjøre det på en annen måte: flytte begrepene med det ukjente til høyre side og få 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5) x. For å finne det ukjente, må du dele ett negativt tall med et annet: x = (–15) / (- 5). Men riktig svar er kjent, og det gjenstår å konkludere med at (–15) / (- 5) = 3.
Salgsfremmende video:
Hva demonstrerer dette enkle eksemplet? Først blir det tydelig logikken som bestemte reglene for handlinger med negative tall: resultatene av disse handlingene må sammenfalle med svarene som er oppnådd på en annen måte, uten negative tall. For det andre, ved å tillate bruk av negative tall, blir vi kvitt den kjedelige (hvis ligningen viser seg å være mer komplisert, med et stort antall begreper), søke etter en løsningsbane der alle handlinger bare utføres på naturlige tall. Dessuten kan vi ikke lenger tenke hver gang på betydningen av de konverterte verdiene - og dette er allerede et skritt mot transformasjonen av matematikk til en abstrakt vitenskap.
Reglene for handlinger på negative tall ble ikke dannet umiddelbart, men ble en generalisering av mange eksempler som oppstod ved løsning av anvendte problemer. Generelt kan utviklingen av matematikk deles betinget inn i stadier: hvert neste trinn skiller seg fra det forrige ved et nytt abstraksjonsnivå i studiet av objekter. Så på 1800-tallet innså matematikere at heltall og polynomier, for all deres ytre ulikhet, har mye til felles: begge kan legges til, trekkes fra og multipliseres. Disse operasjonene overholder de samme lovene - både når det gjelder antall og for polynomer. Men å dele heltall med hverandre slik at resultatet igjen blir heltal, kanskje ikke alltid. Det er det samme med polynomer.
Da ble andre sett med matematiske objekter oppdaget som slike operasjoner kan utføres over: formelle kraftserier, kontinuerlige funksjoner … Til slutt ble det klart at hvis vi studerer egenskapene til selve operasjonene, så kan resultatene brukes på alle moderne matematikk).
Som et resultat dukket et nytt konsept opp: en ring. Dette er bare et sett med elementer pluss handlinger som kan utføres på dem. Det er reglene (de kalles aksiomer) som styrer handlinger, og ikke arten av elementene i settet (her er det, et nytt abstraksjonsnivå!) Som er grunnleggende her. Å ønske å understreke at det er strukturen som oppstår etter introduksjonen av aksiomer er viktig, sier matematikere: ringen til heltall, ringen til polynomer osv. Fra aksiomene kan vi utlede andre egenskaper til ringene.
Vi vil formulere aksiomene til en ring (som selvfølgelig ligner regler for å håndtere heltall), og så vil vi bevise at ved å multiplisere et minus med et minus resulterer det i et pluss.
En ring er et sett med to binære operasjoner (dvs. hver operasjon involverer to elementer av ringen), som tradisjonelt kalles addisjon og multiplikasjon, og følgende aksiomer:
- tillegg av ringelementer adlyder forskyvningen (A + B = B + A for alle elementer A og B) og kombinasjon (A + (B + C) = (A + B) + C) lover; ringen inneholder et spesielt element 0 (et nøytralt element ved tillegg) slik at A + 0 = A, og for ethvert element A er det et motsatt element (betegnet med (–A)) slik at A + (–A) = 0;
- multiplikasjon adlyder kombinasjonsloven: A · (B · C) = (A · B) · C;
- Tilsetning og multiplikasjon er relatert av følgende utvidelsesregler for parentes: (A + B) C = A C + B C og A (B + C) = A B + A C.
Legg merke til at ringer i den mest generelle konstruksjonen ikke krever verken permutabiliteten til multiplikasjon eller dens reversibilitet (det vil si at det ikke alltid er mulig å dele opp), eller eksistensen av en enhet - et nøytralt element i multiplikasjon. Hvis vi introduserer disse aksiomene, får vi andre algebraiske strukturer, men i dem vil alle teoremene som er bevist for ringer være sanne.
La oss nå bevise at for alle elementene A og B i en vilkårlig ring, først, (–A) B = - (A B), og andre, (- (- A)) = A. Dette innebærer lett utsagn om enheter: (–1) · 1 = - (1 · 1) = –1 og (–1) · (–1) = - ((- 1) · 1) = - (- 1) = 1.
For dette må vi etablere noen fakta. Først, la oss bevise at hvert element bare kan ha ett motsatt. La elementet A ha to motsatte: B og C. Det vil si, A + B = 0 = A + C. Vurder summen A + B + C. Ved å bruke kombinasjons- og transponeringslovene og nullegenskapen, får vi det med den ene hånden, summen er B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, og på den andre siden er det C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Så B = C.
Merk nå at både A og (- (- A)) er motsatt av det samme elementet (–A), så de må være like.
Det første faktum oppnås som følger: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, det vil si (–A) B er motsatt av A B, så det er lik - (A B).
For å være matematisk strenge, la oss forklare hvorfor 0 · B = 0 for et hvilket som helst element B. Ja, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Det vil si at å legge til 0 · B ikke endrer beløpet. Derfor er dette produktet lik null.
Og det at det er nøyaktig ett null i ringen (tross alt, aksiomene sier at et slikt element eksisterer, men ingenting blir sagt om dets unike!), Vi lar leseren være en enkel øvelse.
Evgeny Epifanov
